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숫자 ‘9’의 신비로움을 아시나요?
  • 강병용 기자
  • 승인 2017.12.05 09:57
(pixabay)

숫자 ‘9’는 십진법에서 각 자릿수의 가장 큰 수 혹은 가장 마지막 수에 해당한다. 그래서 9는 여러 나라에서 의미 있는 숫자로 사용해왔다.

그리스 신화에는 9명의 뮤즈가 있고, 이집트 신화에는 엔네아드(ennead)라고 하는 9명의 신의 집단이 있다. 우리나라, 중국, 일본에 꼬리 아홉 달린 구미호 전설이 각각 전해지고 있으며, 유럽의 마녀 이야기에서는 고양이가 아홉 살이 되면 마녀로 변한다고 한다. 하늘의 가장 높은 곳을 구천(九天), 땅속 깊은 밑바닥으로 죽은 뒤에 넋이 돌아가는 곳을 가리켜 구천(九泉)이라고 하며, 영어로 ‘the whole nine yards’는 ‘전부’라는 뜻이다. 달마대사는 9년 동안 벽을 보고 수행(구년면벽-九年面壁)한 후 깨달음을 얻었고, 오디세우스는 트로이 전쟁이 끝난 뒤 9년을 방랑한 뒤에야 겨우 집으로 돌아온다.

이처럼 의미 있는 숫자로 사용돼 온 9는 수학적으로도 신기한 현상을 자주 보여 준다.

첫째, 9의 배수는 각 자릿수 숫자를 합하면 9의 배수가 된다.

9에 임의의 숫자를 곱하여 구한 9의 배수에서 각 자릿수의 숫자를 더해보자. 가령,

9 × 2 = 18 → 1 + 8 = 9
9 × 31 = 279 → 2 + 7 + 9 = 18
9 × 2017 = 18153 → 1 + 8 + 1 + 5 + 3 = 18

어떤 9의 배수를 가져와도 각 자릿수의 숫자를 합하면 9의 배수가 된다. 이는 임의의 숫자에서 각 자릿수의 숫자를 합쳐서 9의 배수가 되면 그 숫자는 9의 배수라는 말이 된다. 이는 9의 배수 판정법으로 사용되고 있다.

둘째, 두 자릿수 숫자 ab와 ba 중 큰 수에서 작은 수를 빼면 그 결과는 9의 배수이다.

임의의 두 자릿수 숫자를 정하고(단, 같은 숫자가 중복되면 안 된다) 그 숫자의 자리를 맞바꾼 수를 만든 다음 둘 중 큰 수에서 작은 수를 빼면 그 값은 항상 9의 배수가 나온다. 예를 들어, 임의의 숫자 35를 정했다면 자리를 바꾼 수는 53이 된다. 큰 수인 53에서 35를 빼면 18이 된다. 18은 9의 배수이다. 다른 경우도 마찬가지이다.

92, 29 → 92-29=63
37, 73 → 73-37=36
46, 64 → 64-46=18

이처럼 결과는 모두 9의 배수가 된다.

이는 단지 두 자릿수 숫자에만 해당되는 것은 아니다. 임의의 숫자를 정하고(단, 같은 숫자로만 구성되면 안 된다), 배열을 바꾼 다른 수를 만든 후 큰 수에서 작은 수를 빼면 그 결과는 9의 배수가 된다. 가령 올해 연도인 2017을 예로 들어 보자. 2017에서 배열을 바꾸어 7021을 만들었다면,

2017, 7021 → 7012-2017=5004 → 5+0+0+4=9

그 결과는 9의 배수가 된다.

이번에는 더 큰 수를 만들어 적용해보자. 우리나라가 일제로부터 해방된 19450815를 선택하고, 배열을 바꾸어 98554110를 만들었다면,

19450815, 98554110 → 98554110-19450815=79103295 → 7+9+1+0+3+2+9+5=36

이번에도 어김없이 9의 배수가 된다.

셋째, 987654321에 9의 배수를 곱하면 재미있는 현상이 나타난다.

987654321 × 9 = 8888888889
987654321 × 18 = 17777777778
987654321 × 27 = 26666666667
987654321 × 36 = 35555555556
987654321 × 45 = 44444444445
987654321 × 54 = 53333333334
987654321 × 63 = 62222222223
987654321 × 72 = 71111111112
987654321 × 81 = 80000000001

어떤 현상인지 눈치 챘는가?

마지막으로, 9의 곱셈을 이용하여 신기한 1의 행렬(sequence)을 만들 수 있다.

1 × 9 + 2 = 11
12 × 9 + 3 = 111
123 × 9 + 4 = 1111
1234 × 9 + 5 = 11111
12345 × 9 + 6 = 111111
123456 × 9 + 7 = 1111111
1234567 × 9 + 8 = 11111111
12345678 × 9 + 9 = 111111111
12345678 × 9 + 10 = 1111111111

강병용 기자  

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